Set ist ein Kartenspiel, das 1974 von Marsha Falco erfunden und 1991 von Set Enterprises veröffentlicht wurde. Das Spiel besteht aus 81 Karten, die sich in vier Eigenschaften unterscheiden: Die Symbole auf einer Karte, die Anzahl der Symbole, die Farbe der Symbole und die Schattierung der Symbole. Jede dieser Eigenschaften ist in drei Ausprägungen vorhanden; damit ergeben sich die 81=3*3*3*3 verschiedenen Karten.

Man kann verschiedene Varianten dieses Spiels spielen. Sie alle drehen sich aber um das so genannte Set. Ein Set besteht aus drei Karten, die für jede Eigenschaft die Bedingung erfüllen müssen, dass alle Karten in dieser Eigenschaft übereinstimmen oder dass keine zwei der Karten in dieser Eigenschaft übereinstimmen. Das heißt also:

• Alle Karten haben dieselbe Anzahl an Symbolen oder jede hat eine andere Anzahl.
• Alle Karten zeigen dasselbe Symbol oder jede zeigt ein anderes Symbol.
• Die Symbole einer Karte haben dieselbe Farbe wie die der anderen Karten oder jede Karte hat eine andere Farbe.
• Die Symbole einer Karte haben dieselbe Schattierung wie die der anderen Karten oder jede Karte hat eine andere Schattierung.

Dabei wird jede Eigenschaft unabhängig von den anderen betrachtet.

Zieht man zwei beliebige Karten aus dem Spiel, dann gibt es genau eine weitere Karte, die beide zu einem Set ergänzt. Drei Karten, die ein Set ergeben, könnten zum Beispiel sein:

• 3 rote Kreise, dunkel schattiert
• 2 rote Rechtecke, gar nicht schattiert
• 1 rote Raute, hell schattiert

Unterschiedliche Anzahl, gleiche Farbe, unterschiedliche Symbole, unterschiedliche Schattierung.

In einer Variante von Set legt ein Kartengeber so lange Karten auf dem Tisch aus, bis entweder 12 Karten daliegen, oder einer der (beliebig vielen) Mitspieler "Set!'" ruft. Damit zeigt der Mitspieler, dass er drei Karten ausgemacht hat, die ein Set ergeben. Ist das korrekt, darf er sich die drei Karten nehmen, und der Kartengeber ersetzt sie gegebenenfalls durch neue. Das Spiel geht so weiter, bis alle 81 Karten aufgebraucht sind, oder sich kein neues Set mehr ergeben kann. Wer dann am meisten Karten besitzt, gewinnt das Spiel.

Marsha Falco erfand Set während ihrer Arbeit als Genetik -Wissenschaftlerin im englischen Cambridge . Um die Arbeit mit Blöcken von genetischen Informationen übersichtlicher zu machen, ersetzte sie diese durch Symbole und schrieb sie auf Karten. Beim Versuch, ihren Kollegen den Stapel Karten auf ihrem Tisch zu erklären, kam ihr die Idee, etwas Lustiges daraus zu machen - sie erfand das Kartenspiel Set.

Mathematische Eigenschaften

Dass eine übliche Setkarte d = 4 Eigenschaften aufweist, ist ein willkürlicher Umstand; man kann das Spiel grundsätzlich auch mit beliebigem d spielen. Dass jede der d Eigenschaften genau 3 Ausprägungen oder Werte aufweist, ist dagegen wesentlicher Bestandteil des Spiels.

Die Anzahl der Spielkarten ist im allgemeinen Fall K = 3^d. Es sei nun F_d(n) die Anzahl der setfreien Kartenstapel mit n Karten, also die Anzahl der Kartenstapel mit n Karten, in denen kein Set enthalten ist. Mit Hilfe von F_d(n) können wir die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass ein zufallsverteilter Stapel von n Karten einen Set enthält.

Für beliebiges d gilt nun:

Für d=3 ergibt eine zusätzliche Abzählung:

• F₃(6) = 107406
• F₃(7) = 126360
• F₃(8) = 63180
• F₃(9) = 2106
• F₃(10) = 0

Für d = 4 und größerem n ist die Anzahl der setfreien Stapel zu hoch, als dass sie sich auf einem Rechner unmittelbar abzählen ließe; es gilt aber:

• F₄(6) = 247615056
• F₄(7) = 2144076480
• F₄(20) > 0
• F₄(21) = 0

Leider gibt es für beliebiges F_d(n) keine Formel nach dem obigen Muster. Bei d=4 ist nämlich das durch Abzählung gefundene F(7) durch die Primzahl 101 teilbar, und diese Primzahl lässt sich nicht in einem Faktor der Form (K − t) unterbringen.